المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : التوزيع الإحصائي الطبيعي


عاشقه الاحساس
02-12-2008, 03:28 PM
*

توزيع متصل له شكل الناقوس.
*

تتساوى فيه مقاييس النزعة المركزية الوسط والوسيط والمنوال.
*

متماثل حول وسطه (صفر).
*

الانحراف المعياري له يساوي الواحد الصحيح.
*

طرفاه يمتدان إلى مالا نهاية دون أن يلتقيا المحور الأفقي.
*

المساحة أسفله وفوق المحور الأفقي تساوي الواحد الصحيح.
*

معياري بمعنى أنه يمكن مقارنة أشياء مختلفة.
*

الالتواء و التفلطح صفر.
*

يحمل نسب متساوية وثابتة من الوسط فجهة اليمين (يمين الوسط) موجبه ويسارها سالبه.





مثال(2) مثال(3) مثال(4) مثال(5) مثال(6) مثال(7) مثال(8) مثال(9) مثال(10)

مثال(1):

احسب المساحة المحصورة بين i– 2.14 , 1.54والواقعة تحت منحنى التوزيع الطبيعي والمبينة بالشكل المرفق.

الحـل:

نعلم أن العدد i1.54يقابله في جدول Z قيمة المساحة الواقعة يساره وكذلك العدد i– 2.14 تقابله مساحة في جدول Z والفرق بين المساحتين يعطينا المساحة المطلوبة.http://www.jmasi.com/ehsa/normald/exmnormal1a.jpg

مع ملاحظة حسابنا للقيمة السالبة بموجبها مطروح من الواحد الصحيح.
العدد المساحة
1.54 0.9382
– 2.14 1 – 0.9838 = 0.0162



المساحة المطلوبة = i0.9382 – 0.0162

= i0.9220

أو بجمع القيم الجدولية للقيمتين مباشرة بحذف 0.5 من قيمها الجدولية أي

المساحة المطلوبة = i0.4382 + 0.4838

= i0.9220

تنويه: جدول z يقرأ المساحة على يسار العدد وعليه نقول

المساحة على يمين العدد 1.54 = 1 – 0.9832 = 0.0168

المساحة على يمين العدد صفر هي 0.5

مثال(2):

احسب المساحة بين Z = – 1.5 , Z = – 0.43

الحـل:

المساحة المطلوبة = المساحة على يسار –0.43 مطروحاً منها المساحة على يسار –1.5
http://www.jmasi.com/ehsa/normald/exmnormal2.jpg
= (1 – 0.6664) – (1 – 0.9332)

= 0.3336 – 0.0668

= 0.2668

أو

P(– 0.43 > Z > – 1.5)= [1– P(Z < 0.43)] – [1 – P(Z < 1.5)]

= (1 – 0.6664) – (1 – 0.9332)

= 0.3336 – 0.0668

= 0.2668

مثال(3):

احسب المساحة بين Z = 1.5 , Z = 0.43

الحـل:

المساحة المطلوبة = المساحة على يسار1.5 مطروحاً منها المساحة على يسار0.43
http://www.jmasi.com/ehsa/normald/exmnormal3.jpg
= 0.9332 – 0.6664

= 0.2668

أو

P( 0.43 < Z < 1.5)= P(Z < 1.5) – P(Z < 0.43)

= 0.9332 – 0.6664

= 0.2668





مثال(4):

إذا كانت مجموعة مكونة من 400 عضو في نادي تتوزع توزيعاً طبيعياً في العمر بمعدل 40 سنة بانحراف معياري قدره 5 فاحسب:

1) عدد الأعضاء الذين أعمارهم بين 35 إلى 45 سنة.

2) عدد الأعضاء الذين أعمارهم أقل من 50

3) عدد الأعضاء الذين أعمارهم أقل من 35 واكبر من 45

الحـل:

1) نحسب قيمة Z من القانون للعمر 35:

Z = ( X – μ ) ÷ σ = ( 35 – 40) ÷ 5 = – 1

القيمة الجدولية المقابلة للعدد – 1 (المساحة ) هي 1– 0.8413 = 0.1587
http://www.jmasi.com/ehsa/normald/exmnormal3c.jpg
" لاحظ عدد الأعضاء هنا = 0.1587 × 400 ≈ 64 "
http://www.jmasi.com/ehsa/normald/exmnormal3b.jpg
http://www.jmasi.com/ehsa/normald/exmnormal1.jpg
" لاحظ أن العدد 0.1587 هو احتمال عمر العضو أقل من 35 سنة "

" لاحظ مساحة المنطقة الصفراء A = 0.5 – 0.1587 = 0.3413 "

نحسب قيمة Z من القانون للعمر 45:

Z = ( X – μ ) ÷ σ = ( 45 – 40) ÷ 5 = 1

القيمة الجدولية المقابلة للعدد 1(المساحة ) هي 0.8413

ويمكن حسابها من –1 السابقة وهي 1 – 0.1587 = 0.8413

" لاحظ عدد الأعضاء هنا = 0.8413 × 400 ≈ 337 "

" لاحظ أن العدد 0.8413 هو احتمال عمر العضو أقل من 45 سنة "



" لاحظ مساحة المنطقة الصفراء B = 0.8413 – 0.5 = 0.3413 "

الفرق بين المساحتين = 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 أو مجموعهم كما مبين بالشكل

المطلوب = 0.6826 × 400 ≈ 273 عضو

" من الملاحظتين أعلاه عدد الأعضاء = 337 – 64 = 273 "



2) نحسب قيمة Z من القانون للعمر 50:



Z = ( X – μ ) ÷ σ = ( 50 – 40) ÷ 5 = 2



القيمة الجدولية المقابلة للعدد 2 ( المساحة) هي 0.9772على يسار القيمة 2



فيكون عدد الذين تقل أعمارهم عن 50 = 0.9772 × 400 ≈ 381 عضو



لاحظ:

الذين يزيد أعمارهم عن 50 = (1 – 0.9772) × 400 = 0.0228 × 400 ≈ 9





3) الأعضاء الذين أعمارهم أقل من 35 واكبر من 45 هم خارج الفترة العمرية للمطلوب 1)



والمبينة بالشكل المقابل باللون الأزرق وهي تمثل 1 مطروحاً منه المساحة 0.6826 أي:



المساحة = 1– 0.6826



= 0.3174



عدد الأعضاء = 0.3174 × 400



≈ 127

وتمثلهم المساحة المبينة باللون الأزرق ـ أنظر الشكل المقابل ـ



مثال(5):

احسب قيمة العلامة الزائية للمئين 85

الحـل:

المئين 85 تمثله 0.85 من المساحة تحت منحى التوزيع الطبيعي

من جدول Z نبحث في عمود المساحة عن القيمة 0.8500 فنجد القيمة 0.8504 وهي أقرب إلى 0.8500 من 0.8485 يقابلها في عمود Z القيمة 1.04



لاحظ:

للحصول على Z من الجدول يجب معرفة قيمة النسبة (المساحة تحت المنحنى الطبيعي) سواء كان لجزء من المائة (المئين) أو لنسبة مئوية 15% مثلاً سواء كانت أكثر أو أقل أو يساوي وبالتالي نبحث في جدول Z عن الكسر العشري 0.15 مثلاً ومنها نعرف قيمة Z من الجدول مباشرة للمفهوم يساوي أو أقل من، ولكن حال ذكر أكبر من 15% أي على يمين العدد وجدول Z يعطي قيم المساحة على يسار العدد (أقل من) فنبحث عن 85% التي تمثل يسار Z أو أقل من 85% المقابلة إلى 100% – 15% = 85%

مثال(6):

ما العلامة التائية للعلامة الزائية للعلامة 75 وكذلك احسب العلامة الزائية للعلامة التائية 800

الحـل:

العلاقة الرياضية التي تربط العلامتان الزائية والتائية هي:

T = 10Z + 50 → (1)

يمكن صياغتها بالصورة الآتية:

Z = (T – 50) ÷ 10 → (2)

بالتعويض في (1) عن 75

T = 10Z + 50 → (1)

= 10×75 + 50

= 800

نعوض في (2) عن 800

Z = (T – 50) ÷ 10 → (2)

= (800 – 50) ÷ 10

= 750 ÷10

= 75

لاحظ: في حالة إعطاء علامات زائية وتائية وطَُلب ترتيبها فيجب تحويل الزائية إلى تائية أو العكس

2) هناك علامة معيارية أخرى تعرف بدرجة SATت(Scholastic Aptitude Test) بوسط حسابي i500 وانحراف معياري i100حيث:

SAT = 100Z + 500

مثال(7):

متوسط بيانات مجتمع 85 وانحرافه المعياري 20 فما قيمة الدرجة التائية التي تقابل العلامة 140.

الحـل:

العلاقة الرياضة المطلوبة لحساب Z هي:

Z = (X – μ) ÷ σ

= (140 – 85) ÷ 20

= 55 ÷ 20

= 2.75

نحول العلامة Z إلى علامة تائية من العلاقة الرياضية:

T = 10Z + 50

= 10×2.75 + 50

= 77.5

لاحظ : في حالة عدم معرفة الانحراف المعياري والوسط نعتمد الوسيط والمدى لحساب Z من العلاقة الرياضية:

الدرجة المعيارية Z = (الدرجة الخام – الوسيط) ÷ المدى الربيعي

مثال(8):

اختير طالب عشوائياً من مجتمع نسبة ذكاء أفراده تتبع توزيع طبيعي وبمتوسط حسابي 80 وانحراف معياري 10 فأوجد:

1) احتمال أن تقل نسبة ذكاء الطالب المختار عن 90

2) احتمال أن تزيد نسبة ذكاء الطالب المختار عن 105

3) احتمال أن تتراوح نسبة ذكائه بين 90 ، 105

4) وضح ذلك بيانياً (المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي).

الحـل:

1) نحسب العلامة المعيارية (Z ) التي تقابل القيمة 90
http://www.jmasi.com/ehsa/normald/exmnormal6.jpg
Z = (X – μ) ÷ σ

= (90 – 80) ÷ 10

= 1

من جدول Z نجد أن المساحة المقابلة = 0.8413 وهو الاحتمال المطلوب

2) نحسب العلامة المعيارية (Z ) التي تقابل القيمة 105

Z = (X – μ) ÷ σ

= (105 – 80) ÷ 10

= 2.5

من جدول Z نجد أن المساحة المقابلة = 0.9938

وحيث المطلوب أن تزيد نسبة الذكاء فيكون الاحتمال المطلوب = 1 – 0.9938 = 0.0062

3) الاحتمال المطلوب = احتمال أقل من 105 مطروحاً منه احتمال أقل من 90 أي:

P( 90 < X < 105 ) = P( X < 105 ) – P( X < 90 )

= P( Z < 2.5 ) – P( Z < 1 )

= 0.9938 – 0.8413

= 0.1525

4) مبين بالشكل، لاحظ مجموع الاحتمالات الثلاثة يساوي الواحد الصحيح.

مثال(9):

رتب العلامات التالية ترتيباً تنازلياً:

علامة تائية i80 ، وعلامة زائية i3.2 ، ورتبة مئينية i70% ، وعلامة SATاi600

الحـل:

نحول العلامات إلى الزائية:

العلامة التائية 80 :

T = 10Z + 50

80 = 10Z + 50

Z = 3

الرتبة المئينية 70%:

من جدول Z أمام المساحة 0.7000 نجد:

Z = 0.85

علامة SATا4:

SAT = 100Z + 500

600 = 100Z + 500

Z = (600 – 500) ÷ 100

Z = 1

الترتيب:

i 0.85 , 1 , 3 , 3.2

مثال(10):

برهن على أنَّ مجموع مربعات العلامات الزائية لقيم مفردات مجتمع يساوي عدد هذه المفردات (n) وللعينة عدد مفرداتها مطروحاً منه الواحد الصحيح (n–1).

الحـل:

مجموع مربعات علامات زائية لقيم مفردات مجتمعي يساوي عدد المفردات

بالنسبة للمجتمع يكون المجموع يساوي n وللعينة n –1 وهنا برهان ذلك للمجتمع وللعينة نكتفي باستبدال n بـ n –1

لتكن لدينا مجموعة من القيم:

Xi , i = 1, 2, 3, ..., n

وسطها الحسابي يحتسب من العلاقة الرياضية:

∑Xi

`X = ——

n

مجموع فروق القيم عن وسطها = صفر

∑(Xi –`X ) = 0

التباين S2 يحسب من العلاقة الرياضية التالية:

∑(Xi –`X )2

S2 = ————— → (1)

n



الانحراف المعياري σ يساوي الجذر ألتربيعي للتباين

نحسب قيمة العلامة الزائية من العلاقة الرياضية:



(Xi –`X )

Z = —————

S





نربع طرفي المعادلة السابقة فنحصل على:



(Xi –`X )2

Z2 = —————

S2



نجمع طرفي المعادلة:



∑(Xi –`X )2

∑Z2 = ——————

S2



نعوض عن قيمة S2 من (1)

∑(Xi –`X )2

∑Z2 = —————— × n

∑(Xi –`X )2

= n

فمثلاً : مجموع مربعات 6 علامات زائية هو 6 للمجتمع ، 5 للعينة

لاحظ أنَّ: مجموع العلامات الزائية لقيم مفردات مجتمع (أو عينة) يساوي صفر

الحنكليس
02-12-2008, 08:13 PM
ممتاز عاشقة
بس ما فهمت كثير
يبدو في مشكلة في كتابة بعض الارقام لديك

ممكن امثله توضيحية اخرى
واذا عندك مصدر تنصحين فيه
ياليت تزودينا بمرجع مفيد

شكرا عاشقة

اخوك الصغيرالحنكليس

عاشقه الاحساس
02-12-2008, 08:18 PM
ميرسي لك
اوك حاضر هجبلك امثله اكثر
توضيحا

الحنكليس
02-12-2008, 09:12 PM
OK

I am waiting you

Many thanks

With warm wishes

الحنكليس
02-12-2008, 09:15 PM
الناقوس
means NORMAL DISTRIBUTION

Is it right?1

الحنكليس
02-12-2008, 09:18 PM
AAsheqa

DO you have Z table?1

I need it to understand your examples, please

عاشقه الاحساس
03-12-2008, 02:18 PM
في حاجه اسهل
انا هبدء شرحه من الصفر

عاشقه الاحساس
03-12-2008, 02:24 PM
* تعريف .... التوزيع الاحصائي الطبيعي
هو أحد صور التوزيعات التكرارية ويمتاز بأنه متماثل حول الوسط الحسابي ويأخذ المنحنى المرسوم منه شكل الجرس.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــ
*امثله....
ا لأطوال ، الاوزان, الحجوم , الزمن , المسافات, درجات الحرارة الأسعار , معدلات الذكاء.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــ
*اهميته....
دراسة وتحليل الظواهر الاحصائية المختلفة وعلى الخصوص في ايجاد احتمال تحقق أي حادثة كما أنه هام جدا في النواحي الاقتصادية ونواحي إدارة الأعمال.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــ
*خواصه....
1- شكله يشبه الجرس متماثل حول الوسط الحسابي.

2- قيم س الممكنه هي - ∞ إلى ∞

3- تتساوى قيمة الوسط الحسابي مع الوسيط مع المنوال

4- يمتد طرفاه إلى ما لا نهايه ولا يمس المحور السيني ولا يقطعه أبدا

5- يتحدد شكل المنحنى بمعرفة تماما بمعرفة الوسط الحسابي والانحراف المعياري.

6- إن جملة المساحة تحت المنحنى الطبيعي تساوي واحدا صحيحا إذا تم النظر إليها من وجهة نظر مجموع التكرارات النسبية. حيث على يمين و نصف المساحة وعلىيساره النصف الثاني.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــ
ملاحظة:

1- المقصود بالتكرار النسبي للفئة : هو تكرار الفئة مقسوما على مجموع التكرارات والجواب مضروب في 100 والجدير بالذكر أن مجموع التكرارات النسبية لجدول تكراري يساوي 100 % أي واحد صحيح.



ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــ
أ‌- إذا تغير الوسط الحسابي وبقي

الانحراف المعياري ثابتا فإن

مننحنى التوزيع يتغير يمينا أو

يسارا ولكن شكل التوزيع لا

يتغير.

- إذا تغير الانحراف المعياري

وبقي الوسط الحسابي ثابتا فإن

تشتت وتباعد المنحنى حول المركز

يقل كلما صغرت قيمة ع ويزيد

كلما كبرت

ج- إذا تغيرت قمة كلا من ع

والوسط الحسابي و

فإن مركز التوزيع يتغير

وتباعد منحناه حول المركز

يتغير كذلك.

عاشقه الاحساس
03-12-2008, 02:28 PM
*التوزيع الطبيعي المعياري*



طرح أسئلة تتضمن حساب الاحتمال عندما تكون طول الفترة ليست من مضاعفات الانحراف المعياري

الجواب

لحل مثل هذه المسائل صممت جداول خاصة لحساب المساحات سميت جداول التوزيع الطبيعي للمساحات .

ولأن لكل زوج ( و,ع ) منحنى مختلف وبالتالي سنحتاج بهذه الطريقة للعديد والعديد والعديد من الجداول صممت جداول خاصة لمنحنى طبيعي واحد وسطه و = صفر وانحرافه المعياري = 1 سمي منحنى التوزيع الطبيعي المعياري . ويرمز للمتغير العشوائي في هذا التوزيع بالرمز ز
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــ
فوائد جداول التوزيع الطبيعي للمساحة



v صممت هذه الجداول لتعمل على تخفيف عناء مساحة معينة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المياري.

v صممت هذه الجداول فقط للقيم المعيارية الموجبة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــ
ملاحظة هامة:



v صممت جداول التوزيع الطبيعي للمساحات الواردة في الكتاب المدرسي لإيجاد المساحة يسار قيم ز الموجبة

v لإيجاد المساحة يمين قيم ز الموجبة أوعلى يسار أو يمين قيم ز السالبة نستخدم خواص التوزيع الطبيعي المعياري ومن ثم نستعين بجداول المساحات المعطى.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــ

عاشقه الاحساس
03-12-2008, 02:30 PM
كيفية استخراج المساحات باستخدام جداول التوزيع الطبيعي للمساحات



الحالة الأولى: الحالة القياسية (الجدولية)

كيفية تعيين المساحة الواقعة

يسار قيم ز الموجبة

الجواب: بغايةالسهولة وهو

نستخرج المساحة من الجدول مباشرة



مثال:

إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:

1- ل ( ز< 5 ‚1)

2- ل ( ز< 3 )

الحل:

1- من الجدول مباشرة ل ( ز< 5 ‚1) = 9332 ‚

2- من الجدول مباشرة ل ( ز< 3 ) = 9987 ‚





الحالة الثانية: المساحة الواقعة يمين قيم ز الموجبة

س:كيف نعين المساحة الواقعة

يمين قيم ز الموجبة؟؟؟



الجواب:

في هذه الحالة لا نستطيع حساب المساحة الواقعة يمين قيم ز الموجبة من الجدول مباشرة ولكن نستخدم القاعدة التالية:

المساحة يمين قيمة ز الموجبة = 1- المساحة يسار قيمة ز الموجبة.

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
مثال:

إذ1 كان ز متغير طبيعي معياري فأوجد ما يلي:

1- ل ( ز > 5‚1)

2- ل ( ز < 3 )

الحل:

1- أولا نرسم رسم كروكي لتحديد المساحة المطلوبة

ل ( ز > 5‚1) = ا- المساحة يسار ز= 5‚1

= 1- 9332 ‚ = 8 660 ‚





2- نرسم رسم كروكي للشكل لتحديد المساحة المطلوبة

ل ( ز < 3 ) = ا – المساحة يسار ز = 3

= ا- 9987 ‚ = 0013 ‚





الحالة الثالثة: 9987 ‚المساحة الواقعة يسار قيم ز السالبة



س: كيف نحسب المساحة الواقعة يسار قيم ز السالبة



الجواب:

المساحة يسار قيمة ز السالبة = المساحة يمين قيمة ز الموجبة

= ا- المساحة يسار قيمة ز الموجبة

مثال: إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:

1- ل ( ز<- 5 ‚1)

2- ل ( ز< - 3 )



الحل:

1- ل ( ز<- 5 ‚1) = ا- المساحة يسار ز= 5‚1

= 1- 9332 ‚ = 8 660 ‚

2- ل ( ز< - 3 ) = ا – المساحة يسار ز = 3

= ا- 9987 ‚ = 0013 ‚

الحالة الرابعة: المساحة يمين قيم ز السالبة

س: كيف نحسب المساحة يمين قيم ز السالبة؟؟

الجواب:

المساحة يمين قيمة ز السالبة= المساحة يسار قيمة ز الموجبة

تستخرج من الجدول مباشرة



مثال:

إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:



1- ل ( ز >- 5 ‚1)

2- ل ( ز > - 3 )

الحل:

1- من الجدول مباشرة ل ( ز>- 5 ‚1) = 9332 ‚

2- من الجدول مباشرة ل ( ز> - 3 ) = 9987 ‚





ملاحظة هامة:

· طريقة إيجاد المساحة يسار قيمة ز الموجبة هي نفسها طريقة إيجاد المساحة الواقعة يمين قيمة ز السالبة

وهي في الحالتين (تستخرج المساحة المناظرة لقيمة ز الموجبة من الجدول مباشرة)



· طريقة إيجاد المساحة يمين قيمة ز الموجبة هي نفسها طريقة إيجاد المساحة الواقعة يسار قيمة ز السالبة



وهي في الحالتين:

(1- المساحة يسار قيمة ز الموجبة)



الحالة الخامسة :المساحة المحصورة بين قيمتي زسواء

قيمتين موجبتين , قيمتين سالبتين , قيمة موجبة وأخرى سالبة

في كل من الحالات السابقة :

المساحة المطلوبة = المساحة يسار قيمة ز1 - المساحة يسار قيمة ز 2





مثال: إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:

1- ل (1 < ز < 2 )

2- ل (-2< ز < -3 )

3- ل(- 5 ‚2 < ز < 5 ‚1)



الحل:

1- ل (1 < ز < 2 )

= المساحة يسار ز=2 – المساحة يسار ز= 1

=9772 ‚ - 8413 ‚ = 1359,





2- ل (-2< ز < -3 ) =

المساحة يسار ز= -3 – المساحة يسار ز=-2

المساحة يسار ز= -3

=1 – المساحة يسار ز=3

=1- 9987 ‚ =0013 ‚

المساحة يسار ز=-2

= 1- المساحة يسار ز=2

= 1- 9772 ‚ = 0228 ‚



إذن ل (-2< ز < -3 ) = 0228 ‚ - 0013 ‚

=0215 ‚

3- ل (- 5 ‚2 < ز < 5 ‚1)

= المساحة يسار ز= 5 ‚1 – المساحة يسار ز= - 5 ‚2

المساحة يسار ز= 5 ‚1 = 9332 ‚ من الجدول مباشرة

المساحة يسار ز= - 5 ‚2

= 1- المساحة يسار ز= 5 ‚2

= 1- 9938 ‚ =0062 ‚



إذن ل (- 5 ‚2 < ز < 5 ‚1) = 9332 ‚ - 0062 ‚

= 9270 ‚

عاشقه الاحساس
03-12-2008, 02:38 PM
ايجاد الاحتمالات لمتغير طبيعي غير معياري



لما كانت جداول المساحات مصممة للمنحنى الطبيعي المعياري فإنه لا يمكن استخدام هذه الجداول مباشرة إلا بعد تحويل قيمة التوزيع المراد استخدام الجداول له إلى قيم معيارية مشابهة:

ويمكن تلخيص خطوات

ايجاد الاحتمالات لمتغير طبيعي غير معياري إلى ما يلي:



1- نحول المتغير الطبيعي غير المعياري س إلى متغير طبيعي معياري ز بإستخدام المعادلة الأتية:

ز = س - و / ع

ملاحظة هامة: قيم الدرجة المعيارية واقعة بين -4 ≤ ز ≤ 4 وأي قيمة تزيد عن هذا الحد فيكون هناك خطأ حسابي



2- نلجأ إلى جداول المساحات كما ورد سابقا .



v مناقشة تمارين ومسائل 4 (1 ,2 ,3 ,4 )



1- تقدم 500 شاب لإدارة التجنيد فإذا كانت أطوالهم تتبع توزيع طبيعي بمتوسط 170 سم وتباين قدرة 64 سم فأوجد:

أ‌- عدد الشباب الذين أطوالهم أقل من 160 سم

ب- عدد الشباب غير المقبولين للتجنيد إذا كان الحد الادنى للطول 156 سم؟

الحل:

أ- ل( ز < ( 160 – 170 ) /8 ) = ل ( ز <25 ‚1 )

= 8944 ‚

عدد الشباب الذين تقل أطوالهم عن 160 سم = الاحتمال × العدد الكلي لهم

= 8944 ‚ × 500 = 447 شاب



ب‌- ل ( ط > 156 ) = ل ( ز> 1 ) = 1- المساحة يسار ز=1

= 1- 8413 ‚ = 1587 ‚

العدد = 500 ×1587 ‚= 79 شاب





ملاحظة هامة:

عند حل التطبيقات الحياتية على منحنى التوزيع الطبيعي يفضل إعطاء الطلاب القواعد الأتية:



مربع نص: لإيجاد عدد الطلبة أو أي عدد = الاحتمال × العدد الكلي لإيجاد النسبة المئوية = الاحتمال ×100 لإيجاد الاحتمال بمعلومية النسبة المئوية = النسبة المئوية ÷ 100 100


كيفية استخراج العلامة المعيارية ( ز ) إذا علمت المساحة



يمكن تلخيص خطوات استخراج العلامة المعيارية ( ز ) إذا علمت المساحة إلى ما يلي:

1- تحديد إشارة ز( موجبة أم سالبة ) من خلال الرسم التوضيحي للمساحة المعطاة في المسالة .

2- كتابة خطوات إيجاد المساحة المعطاة (الاحتمال ) بمعنى كيف تم الحصول على هذه المساحة بمعلومية المساحة يسار قيم ز الموجبة كما مر معنا سابقا.

3- من الجدول بالعكس نجد قيمة ز مع ملاحظة أننا سنجد إحدى الحالات الثلاث الاتية :



المساحة المعطاة


كيفية إيجاد قيمة ز (الموجبة)

موجودة بالضبط في الجدول


القيمة المقابلة لهذه المساحة

غير موجودة في الجدول ولكنها قريبة جدا من مساحة موجودة بالجدول


نأخذ قمة ز المقابلة للمساحة القريبة جدا من المساحة المعطاة

غير موجودة في الجدول ولكنها موجودة بين مساحتين في الجدول


تكون قيمة ز هي المتوسط الحسابي لقيمتي ز المقابلة للمساحتين الموجودة بينهما المساحة المعطاة



تمارين ومسائل:



2- إذا كان س متغيرعشوائي يمثل توزيع أوزان قطيع من الخراف وسطه الحسابي = 27 كغم وانحرافه المعياري 5 كغم فإذا علم أنه لا يسمح بذبح أي من هذه الخراف إلا بعد أن تبلغ وزن معين .

فعين هذا الوزن إذا علم أن 2 ‚ 24% من هذه الخراف غير مسموح

بذبحها؟؟؟



الحل:

نفرض أن س متغير عشوائي يمثل وزن الخراف

ل ( ز< س – 27 ) = 242 ‚

5

v من الرسم قيمة ز سالبة

ل ( ز< س – 27 ) = 1- المساحة يسار- (س- 27 ) =242 ‚

5 5

المساحة يسار- ( س- 27 ) = 1- 242 ‚ = 758 ‚

5

v من الجدول – (س- 27 ) = 7 ‚

5



- س + 27 = 5 × 7 ‚

س = 27 – 5 ‚3 = 5 ‚23

أقل وزن لذبح الخروف هو 5 ‚23 ( يعني أي خروف وزنه 5 ‚23 أو أكثر رحمة الله عليه )

2- وجد أن أطوال نوع معين من النبات تكون موزعه توزيع طبيعي بمتوسط 60 سم وانحراف ع فإذا علم أن أطوال22‚ 1% من هذا النبات أقل من 51 سم , أوجد التباين لتوزيع أطوال هذا النبات؟؟؟



الحل:

ل (ط < 51 ) = 0122 ‚

4ل ( ز < 51 – 60 ) = 0122 ‚

ع



v من الرسم ز سالبة

4 ل (ز < 51 – 60 ) = 1- المساحة يسار - (51 – 60 ) / ع

ع = 0122 ‚

المساحة يسار - (51 – 60 ) / ع = 1- 0122 ‚ = 9878 ‚

من الجدول بالعكس - (51 – 60 ) / ع = 25 ‚ 2

ع = 9 / 25 ‚2 = 4

v التباين = 16

الحنكليس
03-12-2008, 08:32 PM
Many thanks

Now I do understand

Could you please put some figure on noraml distribution curve that shows the letters you spoke on

Warm wishes

drahmedhanfy
20-03-2009, 07:20 AM
مشكووووووووووووووووور وربنا يبارك فيكم